講臺(tái)上，唐宏巖放下粉筆，拍了拍手上的灰，轉(zhuǎn)向?qū)W生提問(wèn)：“1，能不能近似于1億？”教室里安靜了一下，一時(shí)沒(méi)人接話(huà)，有人與同伴對(duì)視了一眼。
“不能吧？”有學(xué)生遲疑地說(shuō)?！盀槭裁床荒?？”唐宏巖追問(wèn)?！安罹嗵罅恕！蓖瑢W(xué)回答道?！盀槭裁?和1億的差距，就叫‘太大’？”……
這一連串的“為什么”，是清華大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)中心副教授唐宏巖執(zhí)教二十余年的縮影。他要的不是答案，而是審視直覺(jué)的自覺(jué)。他的課曾讓學(xué)生“不舒服”，卻也讓人感慨：“原來(lái)數(shù)學(xué)還能這么學(xué)?！?/p>
2025年，唐宏巖所教授的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程獲評(píng)清華大學(xué)標(biāo)桿課程。
一門(mén)課的重量
2013年春天，當(dāng)唐宏巖決定接手“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程時(shí)，他清楚地知道自己接下了一塊“硬骨頭”。
這門(mén)課是理工科非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生必修的數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課，但它不似傳統(tǒng)基礎(chǔ)課，反而更像一門(mén)需要融會(huì)貫通的“頂點(diǎn)課程”：學(xué)生既要綜合運(yùn)用微積分和線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)，又要能最終用它解決真實(shí)世界的問(wèn)題。正是這種獨(dú)特的挑戰(zhàn)性，使得它在一眾公共基礎(chǔ)課中脫穎而出，并被致力于培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的錢(qián)學(xué)森力學(xué)班（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“錢(qián)班”）列為榮譽(yù)學(xué)位課程。
高要求也意味著高教學(xué)難度。如何在一門(mén)課上實(shí)現(xiàn)從“基礎(chǔ)”到“綜合”的跨越，是困擾許多教師的難點(diǎn)，也是課程團(tuán)隊(duì)曾面臨缺人手窘境的原因。唐宏巖迎難而上，開(kāi)啟了他與這門(mén)課長(zhǎng)達(dá)十余年的相互塑造之路。
唐宏巖在課堂上。
課程內(nèi)容涵蓋“概率論”和“統(tǒng)計(jì)推斷”兩大版塊，如何平衡二者比重是教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。傳統(tǒng)的教學(xué)進(jìn)度安排是前10次課講初等概論，留給統(tǒng)計(jì)推斷的僅有4-5次課，學(xué)生往往只能“淺嘗輒止”。唐宏巖認(rèn)為，統(tǒng)計(jì)學(xué)思想對(duì)理工科學(xué)生的未來(lái)至關(guān)重要。于是，從第二次開(kāi)課起，他便開(kāi)始對(duì)課程結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化探索，將概率論部分逐步壓縮、精煉，從10次課減至8次，再到7次，最終根據(jù)教學(xué)效果反饋穩(wěn)定在8次。這一調(diào)整讓統(tǒng)計(jì)推斷獲得了更多的教學(xué)時(shí)間，使學(xué)生能夠更深入地理解統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想方法。
支撐唐宏巖在這條路上堅(jiān)定前行的，還有一份在2016年收到的托付。那年，原來(lái)負(fù)責(zé)錢(qián)班這門(mén)課的龔光魯老師在課程交接時(shí)問(wèn)他：“小唐你多大了？”“四十。”唐宏巖回答道?！拔医衲臧耸悄愕膬杀?。”龔老師接著說(shuō)，“這‘兩倍’的緣分一生只有一次。”
這樸素的話(huà)語(yǔ)里，既有老教師對(duì)講臺(tái)的眷戀，更飽含著對(duì)后輩的認(rèn)可與期許。唐宏巖明白，接手這門(mén)課不僅是教學(xué)任務(wù)，更是一項(xiàng)需要堅(jiān)守的使命。
思維的本體
唐宏巖的課堂與許多學(xué)生習(xí)慣的教學(xué)方式不同——沒(méi)有固定教材，不用PPT，全程手寫(xiě)板書(shū)；注重分析案例，但從不講解例題。這種風(fēng)格，確實(shí)讓一些習(xí)慣通過(guò)例題學(xué)習(xí)的學(xué)生需要時(shí)間適應(yīng)。
“我知道學(xué)生短期給出的教評(píng)分?jǐn)?shù)不會(huì)太高?！碧坪陰r帶著溫和而自信的笑容說(shuō)道，“因?yàn)槲业慕虒W(xué)方式確實(shí)會(huì)讓一些學(xué)生覺(jué)得‘不舒服’?！钡聦?shí)上，在學(xué)生們的口中，他的課卻常被標(biāo)記為“值得一選”。雖然曾有學(xué)生在課后詢(xún)問(wèn)為何不講例題、不提供習(xí)題集，但唐宏巖始終對(duì)自己的教學(xué)方向有著清晰的認(rèn)知?！拔覉?jiān)持了自己認(rèn)為對(duì)的路，慢慢地這套方法也就成熟了起來(lái)。”他說(shuō)。
這種堅(jiān)持的背后，是唐宏巖對(duì)數(shù)學(xué)教育的深刻思考。在他看來(lái)，概率與統(tǒng)計(jì)不僅是一套工具，更是一種認(rèn)識(shí)世界的方式。與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)追求“對(duì)錯(cuò)”不同，統(tǒng)計(jì)更注重“合理”性，強(qiáng)調(diào)在不同情境下做出恰當(dāng)?shù)呐袛唷?/p>
唐宏巖在課上書(shū)寫(xiě)板書(shū)。
唐宏巖在培養(yǎng)學(xué)生的過(guò)程中，特別重視“思考的過(guò)程”?！八伎歼@個(gè)動(dòng)作本身，以及開(kāi)始思考的意愿，比思考的具體內(nèi)容更為重要?！碧坪陰r說(shuō)，“因?yàn)檫@次錯(cuò)了，下次可能對(duì)；這次對(duì)了，下次也可能錯(cuò)。但大是大非的底線(xiàn)必須堅(jiān)守。”他希望通過(guò)教學(xué)，幫助學(xué)生打破思維定式，將自發(fā)的思考轉(zhuǎn)化為自覺(jué)的行動(dòng)，最終形成能夠遷移到其他領(lǐng)域的思維能力。
基于這樣的理念，他在教學(xué)中堅(jiān)持不講例題、只分析案例?！艾F(xiàn)實(shí)問(wèn)題從來(lái)都不是課本例題的簡(jiǎn)單復(fù)制粘貼，總會(huì)遇到新情況。單純模仿解決不了問(wèn)題，但背后的邏輯是相通的?！币虼?，他在課堂上著重剖析案例中的關(guān)鍵思維節(jié)點(diǎn)，而將具體的求解過(guò)程留給學(xué)生課后自行完成。
為了配合這種思維訓(xùn)練，他還設(shè)計(jì)了一套完整的考核體系：課后作業(yè)注重思維過(guò)程，完成基本要求即可獲得相應(yīng)分?jǐn)?shù)，同時(shí)為學(xué)有余力的學(xué)生提供深入探索的空間。期末考試分為“統(tǒng)一命題”和“自主命題”兩部分，各占50%，既考查基礎(chǔ)知識(shí)，也注重檢驗(yàn)綜合應(yīng)用能力。
唐宏巖解釋說(shuō)，自主命題部分重在考察思維品質(zhì)?！熬o跟課程節(jié)奏的學(xué)生會(huì)感到題目很常規(guī)，而準(zhǔn)備不足的學(xué)生則會(huì)覺(jué)得難度較大?！彼f(shuō)，有些學(xué)生可能會(huì)從任務(wù)量或難易程度評(píng)價(jià)，但這容易產(chǎn)生誤解?！拔覀兿Ｍ龑?dǎo)學(xué)生意識(shí)到，學(xué)習(xí)的最高境界不是被動(dòng)聽(tīng)講，而是在實(shí)踐和反思中實(shí)現(xiàn)自我提升?！彼a(bǔ)充道。
此外，他還通過(guò)小論文寫(xiě)作、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等多元化方式，將思維訓(xùn)練延伸到課堂之外。在項(xiàng)目匯報(bào)環(huán)節(jié)，他特別設(shè)計(jì)了隨機(jī)抽選匯報(bào)人的機(jī)制，既確保每個(gè)學(xué)生都充分參與，又培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)的協(xié)作與擔(dān)當(dāng)。這些精心設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)，共同構(gòu)成了他“思維錘煉”教學(xué)理念的有機(jī)整體。
時(shí)間的答案
教學(xué)的價(jià)值，往往需要經(jīng)受時(shí)間的檢驗(yàn)。
對(duì)唐宏巖而言，歷屆學(xué)生中，令他印象深刻的不少。其中有一位曾上過(guò)他首次開(kāi)設(shè)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課的學(xué)生，原是生物專(zhuān)業(yè)，自稱(chēng)“害怕數(shù)學(xué)”。然而上了一學(xué)期課后，發(fā)現(xiàn)“統(tǒng)計(jì)還挺有意思”，于是又主動(dòng)選修了更多統(tǒng)計(jì)方向的課程，最終成功申請(qǐng)到耶魯大學(xué)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)方向的博士。這位學(xué)生給唐宏巖發(fā)來(lái)消息：“是您的課讓我意識(shí)到了‘原來(lái)數(shù)學(xué)還能這么學(xué)’?！边@份跨越多年的反饋，讓唐宏巖更加堅(jiān)定了自己的教學(xué)選擇。
在唐宏巖看來(lái)，具體的“知識(shí)”作為“術(shù)”或許會(huì)過(guò)時(shí)，但通過(guò)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練所提升的“道”，其適用面是永不過(guò)時(shí)的?！艾F(xiàn)在所學(xué)的專(zhuān)業(yè)與未來(lái)從事的行業(yè)之間并沒(méi)有必然聯(lián)系，但思維方式是能帶走的。”他說(shuō)道。
當(dāng)教育領(lǐng)域面臨人工智能（AI）技術(shù)沖擊時(shí)，唐宏巖的教學(xué)理念顯示出前瞻性。2023年8月，清華大學(xué)啟動(dòng)人工智能賦能課程試點(diǎn)，至今已有數(shù)百門(mén)落地。面對(duì)這一趨勢(shì)，唐宏巖思考的從來(lái)不是“要不要阻攔學(xué)生用AI”，而是“如何應(yīng)對(duì)轉(zhuǎn)變”。他認(rèn)為，對(duì)于傳統(tǒng)作業(yè)，AI已能給出可靠答案，“攔是攔不住的”，關(guān)鍵在于引導(dǎo)正確使用。因此，他堅(jiān)持將期末考試權(quán)重設(shè)為60%，因?yàn)樵谒磥?lái)，學(xué)生高效使用AI工具的前提是掌握“轉(zhuǎn)化”的能力。“往往老師你怎么考，學(xué)生就怎么學(xué)。”他說(shuō)。
當(dāng)前，唐宏巖正積極探索AI工具在課程中的更多應(yīng)用可能。他認(rèn)為，AI大模型融入課堂可以推動(dòng)教學(xué)資源動(dòng)態(tài)進(jìn)化，通過(guò)數(shù)據(jù)賦能實(shí)現(xiàn)個(gè)性化教學(xué)；但同時(shí)，也需不斷完善多元化考核體系，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程和能力提升給予更多關(guān)注，確保學(xué)生保持獨(dú)立思考的意識(shí)與能力。
獲評(píng)清華大學(xué)標(biāo)桿課程，既是對(duì)唐宏巖執(zhí)教生涯中默默耕耘的認(rèn)可，也印證了其教學(xué)理念在變革時(shí)代的持久價(jià)值。
唐宏巖與同學(xué)們合影。
下課鈴響，唐宏巖擦掉黑板上的“1”和“1億”。那個(gè)關(guān)于“近似”的問(wèn)題，答案早已不重要。重要的是，問(wèn)題本身和對(duì)待問(wèn)題的審慎態(tài)度，已經(jīng)留在了學(xué)生的思維里。
